埃氏筛与线性筛的对比分析

埃氏筛是一种高效的筛选合数方法，通过素数进行筛选，以区分质数和合数。其核心算法通过不断筛除已知质数的倍数，最终得到所有合数。相比之下，线性筛方法则通过逐个检查每个数是否能被已知质数整除。

埃氏筛概述

埃氏筛的核心逻辑基于以下步骤：

初始化一个布尔数组b，用于标记质数。

遍历从2到n的每个数i：

如果i未被标记为合数，则标记为质数，并记录下来。

对于i的所有倍数j，标记为合数。

这种方法的时间复杂度为O(n log log n)，在处理较大范围时表现优异。

线性筛优势

线性筛方法通过逐个检查每个数是否能被已知质数整除，时间复杂度为O(n)。其优势在于每个数仅被筛一次，且不需要预先生成所有质数。这种方法与埃氏筛相比，在处理较小范围时更加高效。

代码解析

埃氏筛代码

void work() {
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        if(!b[i]) {
            pri[++cnt] = i;
            for(int j=1; j<=n/i; j++)
                b[i*j] = 1;
        }
    }
}

pri数组用于存储已知的质数。

b数组用于标记质数和合数。

work函数通过遍历每个数i，筛选出质数并标记其倍数。

欧拉函数计算

void euler() {
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        if(!phi[i])
            phi[i] = i-1;
        pri[++cnt] = i;
        for(int j=1; j<=cnt; j++) {
            if(i % pri[j] == 0)
                phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
            else
                phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
        }
    }
}

phi数组用于存储欧拉函数值。

欧拉函数用于计算小于等于n的数的互质数目。

问题A解答

数对(x, y)的计数

为了计算满足条件的数对(x, y)，我们需要以下步骤：

计算区间[1, n]内的质数个数。

计算欧拉函数值phi(n)。

使用以下公式统计数对： [ ans = \sum_{k=2}^{n} \phi(k) \times \sum_{\substack{m=1 \ m \times k \leq n}}^{n} \phi(m) \times 2 ]

通过这种方法，可以高效地计算出满足条件的数对数量。

问题B解答

寻找质数对

对于给定的区间[l, r]，质数对的寻找可以通过以下步骤实现：

使用埃氏筛生成质数列表。

遍历质数列表，找出区间内的质数对。

比较质数对的间隔，确定最小和最大的间隔。

这种方法确保了在较小范围内高效地找到质数对。

问题C解答

不定方程求解

对于方程： [ 1/x + 1/y = 1/n! ] 其正整数解的数目可以通过以下方法计算：

计算(n!)^2的约数个数。

根据约数对(x, y)的形式，计算满足条件的解的数量。

这种方法通过数学变形，将问题转化为约数个数的计算，从而高效地解决了问题。

通过以上方法，我们可以系统地处理相关数学问题，并利用埃氏筛和线性筛的优势，实现高效的算法设计。

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